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2013年3月

2013年3月28日 (木)

計算尺(slide rule)の使い方を思い出す

計算尺(slide rule)の使い方を思い出す

Time-stamp: "Wed May 30 11:11:34 JST 2012"

フェルミ問題(フェルミ推定)で、order of magnitudeとかorder estimationという用語が出てくる。何らかの数値が10^1のオーダーとみなせ る範囲を5 < x < 50(四捨五入か?)とするのではなくて3.162 < x < 31.62 (三捨四入か?、大雑把には3 < x < 30でよい)とすべきであるという記事 (how to split hairs on fermi questions、フェルミ問題のトリビア)を読 む。

この説明として、1から10までの対数尺(logarithmic scale)の中央は sqrt(10)=3.162である(log 3.162 = 0.5)ことを使っている。1~10~100の 範囲の対数尺において各区間の中央は凡そ3及び30になる。区間の中央より 右側なら繰り上げ、左側なら繰り下げるわけである。そこでオーダーが 10^1とは、3.162 < x < 31.62 の範囲を言っているのだと解釈する。

桁違いな数量(バラつきの激しい数量)の平均は算術平均(arithmetic mean) ではなく幾何平均(geometric mean)のほうが実情をよく表すという事実もあ る。ちなみに1と10の幾何平均は√(1×10)=3.162になる。幾何平均は算術平 均より小さい。バラつきの多いものの算術平均は大きめになってしまうもの である。

ところで対数尺と言えば計算尺に行き着く。この記事を読んで計算尺の原理 を復習しなければと思う。理科系でも対数方眼紙を使ったことは殆んどな い。文具屋さんでも対数方眼紙を見掛けない気がする。対数が目で見えるも のとして計算尺しか思い浮かばない。計算尺が廃れて関数電卓になった現在 は、対数を目で見て実感できるようなものがない。

上記pdfは画像として収録されている。不便なので人力で文字情報化した。
http://mrymy.cocolog-nifty.com/blog/2012/05/howtosplithairsonfermiquestions.txt

私が工業高校の時代に関数電卓はなかった。学校に教材としてアナログ計算 機はあったけれど関数電卓のように計算結果をデジタルで表示するものでは ない。簡単に言えば計算結果を平面の二次元グラフ(曲線グラフ)としてペン 描きするものだった。具体的な数値が必要な場面では計算尺を使う。数値の 頭の三桁(有効数字)が求まれば十分だった。

電気科だったので具体的な製品(品物)の外形の寸法を求めるような場面 は少ない。機械とか建築ではサイズの1ミリの違いは不良品になってしま う。製品の寸法ではなくて、その製品の性能面を考えるときは有効数字三桁 ていどで済む。電気回路の設計は性能を決める計算だから大雑把な計算でと りあえず現物を作る。試作品を動かして微調整するというトライアルアンド エラーで進めることが多い。

計算尺を使うのは難しい。使い方が一通りでない。原理を知ったところで自 由に使いこなせるものではない。原理を知らないより知っていたほうがよい くらいでしかない。初めて計算尺を使ったのは中学生のときだった。対数の 考え方と計算尺を結び付けた話しを先生から教えられたかどうかは定かでな い。もっぱら計算尺の具体的な使い方(乗除算での滑尺と固定尺の組み合せ とカーソルの合わせ方)を憶えただけである。それから何十年も経った今で はどのように使ったのかをすっかり忘れている。

計算尺の原理が対数にあることは知っているが、その対数の考え方と計算尺 の操縦法の結び付き(からくり)を知りたい。そうすればボチボチでも使え る。この使い方でよいのだと自信が持てる。アヤフヤで使うのでは身につい たとはいえない。対数の分かりやすい説明が次のページにある。

計算尺の開発当初モデルはA, B, C, Dの四尺だったらしい。固定尺の上側が A尺、下側がD尺である。そして滑尺の上側がB尺、下側がC尺である。上側か ら順番にA, B, C, D尺となる。

C, D尺の目盛の打ち方は左起点(左基線)を1とし(log 1 = 0は原点になる)、 そこから log x だけ離れた位置にxの目盛を打つ。右終点(右基線)10の目盛は log 10 = 1の位置に打たれる。実際は計算尺のサイズ(10インチなら25cm、8 インチなら20cm)に log x を掛けた位置になる。

A, B尺の場合は log √x = log x^(1/2) の点にxの目盛を打つ。10の目盛が 打たれるのは log √10 = log 3.162 = 0.5 すなわち中点になる。そして右 端には100の目盛が打たれる (log √100 = log 10 = 1)。固定尺のD尺に対 するA尺は二乗になり、A尺の直下のD尺は平方根になる。滑尺のB,C尺どうし も同じ関係にある。平方根や2乗は滑尺を動かす操作なしでカーソルを動か すだけで直読できる。

(注)計算尺を知らない人にとってカーソルとは、パソコンのワープロソフト などでキーボードからの文字入力場所を表す目印のことだろう。マウスが当 たり前になった今では(マウス)ポインタと呼ばれたりもする。カーソル (cursor、英語読みならカーサー)はラテン語でランナー (runner) になるとい う。計算尺の用語として相応しい。

乗除算には滑尺のC尺と固定尺のD尺を使う。原理から言うとA, B尺で乗除算 をやっても構わないのであるが、目盛が1/2長さになっているので目盛合せ (読み取り)の精度が落ちてしまう。

乗算の手順は次になる。D尺上の被乗数xにカーソルを合わせる。滑尺を動か しての左基線(1の目盛)をカーソルに合わせる。カーソルをC尺上の乗数yの 位置に移動させる。カーソル下のD尺の読みが乗算の結果xyになる。

D尺上のx(左基線から長さ log x だけ離れたところにxの目盛がある)に滑尺 Cの左基線(1の目盛)を合わせる。C尺上に取るyはC尺の左基線から長さ log yだけ離れたところにある。滑尺Cの目盛yの直下(カーソル線下)のD尺の読み は固定尺D上の長さ log x と滑尺C上の長さ log y を加えた長さになる。対 数の性質によりそれがxとyのかけ算の結果xyになる。

log x + log y = log xy

xとyの組み合わせにより滑尺C尺上のyの直下(カーソル線下)にD尺の目盛が ないことがある。例えば2×8の計算ではD尺の2に滑尺Cの左基線(1の目盛)を 合わせたとき、C尺の8は固定尺Dからはみ出たところにある。滑尺Cの8に カーソルを合わせられない。カーソルが計算尺から外れてしまう。2×8では 桁上がりで目外れが起きている。

もし固定尺の目盛10の右側に10から100までの目盛があれば(1から10までと 同じ目盛り方を繰り返す)目外れしない。現実にそのような目盛りはない。 このときはD尺の2にC尺の1を合わせるのではなくて、C尺の10の目盛りを合 わせる。そうするとC尺の8の直下のD尺の読みは1.6になる。

log x - (log 10 - log y) = log(xy/10)

このときのD尺上の読みはかけ算xyの1/10になっている。そこで読み取った 1.6を10倍した16が答になる。

D尺の被乗数xにC尺の左基線(1の目盛)を合わせることは、そこから乗数yの 対数分長さを右に継ぎ足すことで分かりやすい。それに対してC尺の右基線 (10の目盛)を合わせてC尺上の乗数にカーソルを移動させるのは分かりにく い。なぜなら、カーソルを左に動かすことは対数に相当する長さを引くイ メージになるからである。実際には1/10が求まる。頭の柔軟が試される。

C, D尺を使うかけ算では、D尺上に取った被乗数xに滑尺の左基線と右基線の どちらを合わせるかで悩む。滑尺の左基線(1の目盛)か右基線(10 の目盛)のどちらにするかは滑尺の突き出しの少ないほうが楽である。しか し、xとyの組み合わせにより目外れがある。とりあえず左基線を合わせてみ て目外れなら右基線に合わせ直す二度手間になる。

(注)C, D尺を使う除算では目外れが起こらない。乗算ではカーソル下の固定 尺(D尺)の読みが計算結果であった。C, D尺を使う除算の結果は滑尺(C尺)の 基線下(左右どちらかの基線)のD尺の読みが計算結果になる。滑尺を固定尺 から抜き取ってしまわない限り左右どちらかの基線はD尺の範囲内にある。 つまり目外れは起こらない。

次はC, D尺を使って割り算x/yを計算する。D尺上のxにカーソルを合わせ る。滑尺Cを動かして滑尺C上のyをカーソル線に合わせる。このとき滑尺Cの 左基線または右基線直下のD尺の読みが割り算x/yの答えになる。かけ算では カーソルを2回動かすが割り算では1回で済む。そして答えはカーソル下では なく滑尺の基線下のD尺になる。

log x - log y = log(x/y)

C, D尺はどちらも左基線が1で右基線が10の順目盛りになっている。もし滑 尺が右に突き出していれば滑尺の左基線下のD尺を読むことになる。それは 上記の対数の性質そのままである。逆に滑尺が左に突き出している場合はC 尺の右基線(目盛り10)のD尺を読む。このときは次を計算尺で実行してい る。

log x + (log 10 - logy) = log(10x/y)

例えば、2/4では滑尺が左に突き出す。このときのC尺の右基線(10目盛り)下 のD尺の読みは10x/yである。10倍したものになるので5を1/10にした0.5が答 えになる。割り算の場合はかけ算のような目外れが起こらない。滑尺の左右 どちらかの基線下にあるD尺の読みが答えとなるからである。滑尺を固定尺 から抜き取って分離しないかぎり目外れはない。

かけ算での目外れを避けるための逃げ道として次の二つがある。一つは滑尺 のC尺の目盛り(順尺)の左右を逆転させた逆尺のI尺(inverted)であるCI尺を 使う方法である。もう一つはC, D尺をその中央付近で切断して背中合わせに くっつけた折りたたみ尺(folded)のCF, DF尺を使う方法である。

CI, D尺によるかけ算は、C, D尺を使う割り算と同じ手順になる。D尺上の被 乗数xにカーソルを合わせる。次にCI尺上の乗数yをカーソル線に合わす。滑 尺の左右どちらかの基線下のD尺の読みが、かけ算の答えxyになる。

例えば、2×4の場合はD尺の2とCI尺の4をカーソルを使って合わせる。滑尺 は左に突き出している。CI尺が逆尺(inverted)であるからlog 4に相当する 長さをD尺の2の長さに継ぎ足す格好になる。滑尺の右基線下のD尺の読み8が かけ算の答えであることは一目瞭然である。次に、6×2なら滑尺が右に突き 出る。計算尺上では次を実行している。

log 6 - (log 10 - log2) = log(6*2/10)

CI尺の左基線下のD尺の読み1.2は計算結果の1/10になっている。1.2を10倍 した12がかけ算の答えになる。右に突き出した滑尺の下のD尺の延長上に答 えがある。D尺の目盛り10を超えたところだから桁上がりになる。

久し振りに引っ張り出した計算尺の使い方を忘れている。計算尺の使い方の 解説を読み直す。割り算にC, D尺を使うのは記憶通りだが、かけ算をC, D尺 で実行する手順が最初に出る。学校では、かけ算をD尺及び目盛りが赤字の CI尺とを使うと教わった。割り算とかけ算のどちらでも答えは滑尺の左右ど ちらかの基線下のD尺の読みだったことを憶えている。

計算尺を使うのは工業高校卒業以来約40年ぶりになる。改めて読み直した計 算尺使用法の解説における、かけ算のやり方の最初はC, D尺を使う方法に なっている。たぶん計算尺の原初モデルには逆尺(inverted)がなくて巡尺だ けだったという事情を考えるとその説明のほうが自然なのだろう。計算尺の 使い方は、計算尺が備えられている尺の種類しだいで幾通りもある。結構ヤ ヤコシいものであると認識させるために色々な方法を紹介している。かけ算 における目外れという不便を早めに紹介する(認識させる)と逆尺(inverted) や折りたたみ尺(folded)の話題が持ち出しやすくなる。教育的配慮から色々 な使い方を説明するのだろう。

C, D尺だけを使う割り算とかけ算では、答が求まる場所がかけ算ではカーソ ル下に、割り算では滑尺の基線下というように手順が違う欠点がある。CI尺 という逆尺を考え出した理由に行き着くためには、計算結果がカーソル下と 滑尺基線下の二通りあることを経験しておくほうがよい。

また、C, D尺を使うかけ算の不便はカーソルを動かす回数が二回になること もある。まず、D尺上の被乗数xにカーソルを合わせる。次に滑尺であるC尺 の左右どちらかの基線をカーソル線に合わせる。そうしたら滑尺が動かない ように固定したままとし、カーソルをC尺上の乗数yに合わせる。そのときの カーソル線下のD尺の読みxyが、かけ算の結果になる。

CI, D尺を使うかけ算ではD尺上の被乗数xにカーソルを合わせる。CI尺上の 乗数yをカーソル線に合わせる。滑尺の左右どちらかの基線下のD尺の読みxy がかけ算の結果になる。カーソルを動かすのは一回だけである。C, D尺を使 う割り算と同じ回数になる。

かけ算の目外れ問題の対するもう一つの対策は折りたたみ尺(folded)を使う 方法である。計算尺の両端付近の目盛りが真ん中辺りにあれば目外れを防ぐ ことができる。私の持っている計算尺では固定尺と滑尺の上に配置されるA, B尺より内側(固定尺と滑尺の隣接部分に近いところ)の固定尺にはDF尺が、 そして滑尺にはCF尺が配置されている。二乗や平方根より計算頻度の多い、 かけ算、割り算を優先した目盛り(尺)配置である。

私の計算尺の折りたたみ尺は√10で切断したものを背中合わせに継ぎ合わせ ている。左右の基線長の約半分(√10切断ならど真ん中、π切断なら中央付 近)だけ目盛りをズラせたものになっている。

1/2 = (1/2)log 10 = log(√10) = log 3.162

計算尺によっては√10 = 3.162ではなくてπ= 3.141を中央にしたものもあ る。円周率πを中央にすると、D尺のπにC尺の左基線(1)を合わせた目盛り がDF尺の右半分になり、D尺のπにC尺の右基線(10)を合わせた目盛りがDF尺 の左半分になる。この関係によりD尺に対応するDF尺の読みはD尺のπ倍にな る。またDF尺に対応するD尺の読みは1/πになる。円の直系と円周がカーソ ルで直読できるようになる。

中央と下の計算尺には面白い違いがある。計算尺は、計算をするときに、板 に描いている目盛と、透明な板の中央にある目盛(カーソル)を移動して計 算するのであるが、合わせたい目盛が左右にはみ出した位置になってしまい 合わすことができなくなることがある。これを確か「目外れ」と言ったと思 う。
そのために、計算尺の長さのちょうど半分あたりのところで切って、この目 外れが起きても計算を続けられるように、D, C, CI の各尺に対して DF, CF, CIF 尺を作っている。正確に半分のところは、ルート10、つまり10 の平方根である。中央の計算尺はそこで切れているのであるが、下の計算尺 はπで切られている。
理論上は、どこか適当なところで切ればよいのである。目外れの減少を最少 にしようとすれば、ちょうど半分がいいのであるが、円周率のπは技術計算 でしばしば遭遇する値であり、そこで切ってあれば、πを掛けるとき、なん の操作をしなくても計算できてしまうので、下の機械設計用ではπで切れて いるのである。

2×7をC, D尺を使って計算する場合を考える。D尺の2にC尺の左基線(1)を合 わせるとC尺の7は目外れする。カーソルをD尺の2に合わせたままにするなら 次の二つのどちらかに進む。一つはD尺の2にC尺の右基線(10)を合わせ直 す。そうすればC尺の7の直下のD尺は読める。二つ目はCF尺の7に対応するDF 尺を読む。

C, D尺を、それぞれの尺の中央付近までズラせた目盛りを打ったものがCF, DF尺になる。滑尺のC尺とCF尺及び、固定尺のD尺とDF尺はそれぞれ一続き (一枚)の尺に打たれた目盛りである。相互の目盛りどうしの距離(間隔)は変 わらない。折りたたみ尺ではない尺(普通尺)の左右の端のほう(1または10に 近い目盛り)で目外れが起きるのであるからこの付近が尺の中央付近に来る ように折りたたんである。普通は√10か円周率πで折り返す。ここでは簡単 のためにCF, DF尺を3で折り返すものとする。左右の両端が3と30で、中央付 近に10(実際には中央付近が1で右端は3に省略されている)の目盛りが来る。

log 2 + (log 7 - log 3) = log(14/3) = log 14 - log 3
=(D尺の左端から2までの長さ)+(CF尺の左端3から7までの長さ)
(DF尺の左端3から14(1.4)までの長さ)

目外れを起こしているC尺の7に代えてCF尺の7にカーソルを合わせてDF尺を 読むということである。

最初からCF, DF尺を使う次のようなヒネクレれた(技巧的な)使い方もできる 。DF尺の2にカーソルを合わせる。次にCF尺の中央である1(同時に10でもあ る)をカーソル線に合わせる。カーソルをCF尺の7に合わせてカーソル直下の DF尺が14になる。同じ手順で2×2を計算しようとするとCF尺の2は目外れす る。このときはC尺の2の直下のD尺に4が求まる。

二つの数どうしのかけ算であればCI, D尺を使うのが分かりやすい。二つ以 上の数を連続して掛け合わす場合は以上の色々な、かけ算方法を取り混ぜて 目外れが起きないように、計算尺の熟練者は工夫するらしい。計算尺を使い 慣れない者にはパズルを解くようなものになる。計算をするよりは手順をど うするかで手の動きが止まってしまいかねない。計算尺に熟練するには時間 がかかる。

学校で計算尺を習ったけれど試験問題を解く際に使っただけで、仕事で使う 機会はなかった。そういう仕事につくことがなかった。それでも計算尺によ り対数目盛りに馴染むことができた。また、対数尺の目盛りの1から2のあた りは左側ほど間隔は広く右寄りになるほど狭くなる。そして右端の7から8あ たりはほとんど等間隔になる。言われなくても1から2当たりは有効数字とし て4桁を読む。10に近いところは3桁しか読めない。手計算や計算機で求めた 答えを浮動小数点形式にするとき、有効桁の最初が1のときだけ続けて3桁を くっ付けておく習慣が身についた。

計算尺推進委員会では計算尺の使用方法を「1から」とは言わず、「0か ら」解説します。今まで「計算尺って何だろう?」と思っていた方や、「そ もそも計算尺ってなに?」という方もぜひご覧ください。
Apollo 11 - NASA's Lunar Lander space vehicle, with the crew Neil Armstrong, Buzz Aldrin and Michael Collins carried slide rules, for the first time in history, into space and onto the moon, July, 1969.
実物写真図解による使い方説明(英文)、分かりやすい。アポロ11号の月旅行 に計算尺を持って行ったとある。

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